Kurt Gödel
El método axiomático creado o descubierto por los griegos consiste en escribir una lista breve de proposiciones llamadas axiomas que no necesitan ser probados porque son evidentes por sí mismos y luego derivar de esos axiomas otras proposiciones llamados teoremas.
La geometría euclidiana consta de cinco axiomas, el primero dice: Dados dos puntos solo se puede trazar una recta que los une.
El último puede ser expresado así: Por un punto exterior a una recta, solo puede trazarse una única recta paralela. Dicho de otra forma, existen dos rectas que no se encontrarán jamás.
A Euclides este último axioma no le parecía evidente y trató sin conseguirlo deducirlo de los otros axiomas.
Hoy, cualquier estudiante no tendría ningún problema en aceptar que dos líneas no se encontrarán jamás. ¿Por qué entonces a Euclides este axioma no le resultaba evidente por sí mismo?
El profesor Newman y el profesor Nagel sugieren que los griegos conocían ciertas curvas asintóticas que convergen en el infinito y que tal vez por eso no le resultaba evidente. Por qué no pensar que si alguien cree con o sin fundamento que todo lo que existe se reunirá finalmente, entonces la idea de las paralelas no es aceptable porque esa idea salta del sistema axiomático pensado al sistema axiomático de quien lo piensa, es decir, va contra sus propios fundamentos.
Bernhard Riemann demuestra que no es posible demostrar el último axioma de Euclides derivándolo de otros axiomas, demuestra que algo no puede ser demostrado, pero también que los axiomas no tienen por qué ser evidentes por sí mismos, es posible imaginar un axioma donde por un punto exterior a una recta no puede trazarse ninguna paralela. Esta nueva forma de pensar, donde los axiomas pueden afirmar cualquier cosa y donde lo que importa no es lo que se afirma, son las consecuencias lógicas de esas afirmaciones solo requiere que los axiomas sean consistentes. Que no sea posible derivar de los axiomas dos conclusiones o teoremas contradictorios.
Hilbert va más allá, propone despojar a los axiomas de su componente semántico, ahora los axiomas son un conjunto de símbolos sin ningún significado y un conjunto de reglas de producción que permiten solo algunas combinaciones de esos símbolos, su sistema es solo sintáctico, no significa nada.
Aun cuando las hileras de símbolos producidos por este sistema no tengan ningún significado puede decirse algo de ellos. Pero ese algo que se dice no forma parte del sistema, está en aquel que observa e interpreta. Una observación podría ser: Me gusta, otra: Observo que algunos símbolos se repiten.
Hilbert desarrolla el programa para la demostración absoluta de consistencia del método axiomático.
Cantor desarrolla la teoría de conjuntos y casi se disculpa por verse obligado a considerar el infinito no como potencia según la concepción aristotélica sino como acto, pensó esta teoría como fundacional. Para sus explicaciones apelaba a la intuición del lector y no distinguía muy bien entre axiomas y teoremas.
Frege fue el primero en abrazar esta teoría, pero entiende que debe crear un lenguaje riguroso con símbolos precisos.
Su programa al que va a dedicarle su vida trataba de demostrar que todas las nociones aritméticas pueden ser definidas en ideas estrictamente lógicas.
Frege dicta clases en Jena, pero nunca fue nombrado catedrático, ni siquiera le concedieron una distinción rutinaria al cumplir los 60 años por considerar que su obra carecía de todo interés.
A sus clases no asiste nadie. Para su programa logicista desarrolla una ideografía que nadie comprende.
Cuando el segundo tomo de su obra está en imprenta recibe una carta de Bertrand Russell. Una carta de una sola hoja donde le hace saber que ha encontrado una contradicción referida al axioma de comprensión en las que Frege basa su teoría de conjuntos.
Frege desespera e intenta en vano corregir su error, el daño está hecho. Sus palabras exudan aceptación y derrota:
“Nada más triste puede ocurrirle a un escritor científico que ver cómo, después de terminado su trabajo, una de las bases de su construcción se tambalea.”
Frege abandona sus estudios y poco después muere. Desciende al inframundo y Hades le concede tres deseos, pero le advierte que el inframundo no puede asegurarle un orden.
Su primer deseo es que a Bertrand Russell le concedan el premio Nobel de literatura porque no hay humillación más grande para un lógico matemático ser reconocido por lo que ha escrito en un lenguaje inconsistente.
Su segundo deseo es que sus ideas encarnen en un hombre que sea capaz de dar por tierra con la obra monumental de Russell y Whitehead: Principia Mathematica.
Ese hombre será Kurt Gödel.
Gödel siguiendo el programa de Hilbert demuestra que todo sistema axiomático es incompleto, existen verdades que nunca podrán ser demostradas bajo ese sistema sin importar cuántos axiomas uno agregue.
Para su demostración pudo utilizar la aritmética de Peano que consta de siete axiomas, en su lugar, elige un sistema mucho más complejo: Los Principia Mathematica de Russell.
Cuando le anuncian a Frege que Russell ha sido completamente derrotado, en el jardín de las Hespérides pasa dos noches orgiásticas bebiendo y fornicando. Pide audiencia con Hades, pero Hades rehusa su encuentro.
La tercera noche movido por la curiosidad, el único don que no le han arrebatado, comienza a estudiar el teorema de Gödel y su rostro va mudando de la indiferencia a la sorpresa, de la sorpresa al asco y del asco al espanto, lee y vuelve a leer, ahora su dolor es físico. Comprende que Gödel ha aniquilado de un solo golpe el programa de Hilbert, los Principia Mathematica de Russell, pero también su programa logicista.
Gödel comienza sus estudios en Viena. La guerra no parece afectarlo, emigra a los Estados Unidos y consigue una plaza en el instituto de estudios avanzados de Princeton.
Cuando va a recibir su carta de ciudadanía le hace saber al juez que ha encontrado una contradicción lógica en la constitución de los Estados Unidos por la cual sería posible instalar una pequeña dictadura. Einstein que lo acompaña lo interrumpe y apura al juez para que firme. En sus últimos años Einstein dirá que sus teorías ya no le importan, solo regresa a Princeton para tener el honor y el privilegio de conversar en alemán con su amigo Kurt Gödel.
Pero luego Gödel comienza a desarrollar una teoría sobre sí mismo, sospecha que solo es un actor secundario de una película y todo es un decorado. Cree que lo quieren envenenar y se niega a comer nada que no sea servido por su esposa. Cuando internan a Adele deja de comer.
Gödel muere pesando treinta kilos, solo y completamente perturbado mentalmente.
Ese fue el tercer deseo de Frege.
Cuarenta años después Frege continúa estudiando el teorema de Gödel, una noche un mensajero de Hades se presenta, le entrega una carta y le hace saber que Bertrand Russell está muriendo.
Frege termina de leer la carta y ahora no es su sistema lo que tambalea, es él quien se derrumba. Encuentra a Hades en el Leteo y le implora que le conceda un último deseo, pero Hades finge no conocerlo. En Estigia seduce a Perséfone y su deseo le es concedido.
En la noche más oscura de las Hades ocurre algo que ningún presente comprende.
De los ojos de Frege comienzan a brotar lágrimas, lágrimas de vergüenza y gratitud.
“Cuando pienso en actos de gracia e integridad, me doy cuenta de que no conozco ninguno comparable con la dedicación de Frege a la verdad. Estaba Frege dando cima a la obra de toda su vida, la mayor parte de su trabajo había sido ignorado en beneficio de hombres infinitamente menos competentes que él. Su segundo volumen estaba a punto de ser publicado y, al darse cuenta de que su supuesto fundamental era erróneo, reaccionó con placer intelectual, reprimiendo todo sentimiento de decepción personal. Era algo casi sobrehumano y un índice de aquello de lo que los hombres son capaces cuando están dedicados al trabajo creador y al conocimiento y no al crudo afán por dominar y ofrecerse solo como espectáculo.”
Bertrand Russell
